Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ex-2

x

，g（x）=

2lnx

x

，對任意x₁，x₂∈（0，+∞），不等式kg（x₁）≤（k+1）f（x₂）恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出f（x）_min=

1

e

，g（x）_max=g（e）=

2

e

．由對任意x₁，x₂∈（0，+∞），不等式kg（x₁）≤（k+1）f（x₂）恒成立，得到

2k

e

≤（k+1）•

1

e

，由此能求出k的取值范圍．

解答： 解：x＞0時，∵f（x）=

ex-2

x

，∴f′（x）=

(x-1)ex-2

x2

，
∴函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=

1

e

．
∵g（x）=

2lnx

x

，∴g′（x）=

2(1-lnx)

x2

，
令g′（x）=0，得x=e．
當(dāng)x∈（0，e），g′（x）＞0；當(dāng)x∈（e，+∞）時，g′（x）＜0．
∴g（x）_max=g（e）=

2

e

．
∴對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），f（x）_min＜g（x）_max．
∵對任意x₁，x₂∈（0，+∞），不等式kg（x₁）≤（k+1）f（x₂）恒成立，
∴

2k

e

≤（k+1）•

1

e

，解得k≤1
故答案為：（-∞，1]．

點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性，最值求解中的應(yīng)用，函考查數(shù)的恒成立問題的轉(zhuǎn)化，本題具有一定的難度．