Question

如圖，在多面體ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，AB∥DC，ADEF是正方形，已知BD=2AD=2，AB=2DC=

5

．
（1）證明：平面BDF⊥平面ADEF；
（2）在線段EF上是否存在一點G，使得CG∥平面BDF，若存在，求出FG的長度，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得FD⊥平面ABCD，從而BD⊥DE，由勾股定理得AD⊥BD，從而BD⊥平面ADEF，由此能證明平面BDF⊥平面ADEF．
（2）以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面DBF的法向量，設G（a，0，1），則

CG

=（a+

1

2

，-

5

2

，1），由CG∥平面BDF，得

n

•

CG

=0，由此能求出線段EF上存在一點G（

1

2

，0，1），使得CG∥平面BDF．此時FG=

1

2

．

解答： （1）證明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，AB∥DC，ADEF是正方形，
∴FD⊥平面ABCD，∴BD⊥DE，
∵BD=2AD=2，AB=2DC=

5

，
∴由勾股定理得AD⊥BD，
∵AD∩DE=D，∴BD⊥平面ADEF，
∵BD?平面BDF，∴平面BDF⊥平面ADEF．
（2）解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，DE為z軸，
建立空間直角坐標系，
D（0，0，0），F(xiàn)（1，0，1），B（0，2，0），

DF

=（1，0，1），

DB

=（0，2，0），
設平面DBF的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • DF =x+z=0 n • DB =2y=0

，取x=1，得

n

=（1，0，-1），
C（-

1

2

，

5

2

，0），設G（a，0，1），則

CG

=（a+

1

2

，-

5

2

，1），
∵CG∥平面BDF，∴

n

•

CG

=a+

1

2

-1=0，解得a=

1

2

，
∴線段EF上存在一點G（

1

2

，0，1），使得CG∥平面BDF．
此時FG=

1

2

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查在線段EF上是否存在一點G，使得CG∥平面BDF的判斷與求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．