Question

甲乙兩人進行象棋比賽，規(guī)定：每次勝者得1分，負者的0分；當其中一人的得分比另一人的得分多2分時則贏得這場比賽，此時比賽結(jié)束；同時規(guī)定比賽次數(shù)最多不超過6次，即經(jīng)6次比賽，得分多者贏得這場游戲，得分相等為和局．已知每次比賽甲獲勝的概率為

2

3

，乙獲勝的概率為

1

3

．假定各次比賽的結(jié)果是相互獨立的，比賽經(jīng)ξ次結(jié)束，求：
（1）ξ=2的概率；
（2）隨機變量ξ的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用已知條件明白事件間的關(guān)系式，然后借助于對立事件的概率公式解得ξ=2的概率．
（2）先分析隨機變量的ξ的可能取值為：2、4、6，然后利用獨立事件的概率的乘法公式和互斥時間 的概率的加法公式得到分布列和期望值．

解答： 解：（1）記“甲在第i次獲勝”為事件A_i（i=1，2，…，5，6），
P（A_i）=

2

3

，P（

.

Ai

）=

1

3

，
P（ξ=2）=P（A₁A₂+

.

A1

.

A2

）=

5

9

．…4分
（2）ξ的可能取值為：2、4、6，
則由（1）知：P（ξ=2）=

5

9

，
P（ξ=4）=P（A1

.

A2

A3A4+

.

A1

A2A3A4+A1

.

A2

.

A3

.

A4

+

.

A1

A2

.

A3

.

A4

）=

20

81

，
P（ξ=6）=1-P（ξ=2）-P（ξ=4）=

16

81

，
則ξ的分布列為：…9分

ξ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

因此ξ的數(shù)學期望為：Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要注意排對立事件概率公式的合理運用．