Question

【題目】已知橢圓： （）的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)為動(dòng)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，問:在軸上是否存在定點(diǎn),使得為定值？若存在，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值；若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）由，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長(zhǎng)半軸為半徑與直線相切，求出的值，由此可求出橢圓的方程；

（2）由得，由此利用韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出在軸上存在點(diǎn)，使為定值，定點(diǎn)為。

試題解析：（Ⅰ）由，得，即，①

又以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓為，

且圓與直線相切，

所以，代入①得，

則.

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）由得，且

設(shè)，則，

根據(jù)題意，假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，則有

要使上式為定值，即與無(wú)關(guān)，則應(yīng)，

即，此時(shí)為定值，定點(diǎn)為.