Question

【題目】（1）當時，求證：；

（2）當函數(shù)與函數(shù)有且僅有一個交點，求的值；

（3）討論函數(shù)的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）當或時，函數(shù)有兩個零點，當時，函數(shù)有四個零點，當時，函數(shù)沒有零點.

【解析】

試題分析：（1）構造函數(shù)，分別利用導數(shù)求得函數(shù)的最小值和的最大值，由此證得不等式成立；（2）當函數(shù)與函數(shù)有且僅有一個交點,構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷的單調(diào)區(qū)間，由此求得；（3）令，對分成，，，四類，利用導數(shù)求得函數(shù)的零點個數(shù).

試題解析：

（1）令，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，同理可證，故得證．．．．．．．．．．．．．4分

（2）令，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，使，當時，

；，

當時，，∴．8分

（3）令是偶函數(shù)，，時，，由（2）知，當時，函數(shù)，有兩個零點；

，當時，，

所以函數(shù) ，有兩個零點；當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，當時，

，所以，函數(shù)，有四個零點；當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，函數(shù)，沒有零點．

綜上所述，當或時，函數(shù)，有兩個零點；當時，函數(shù)有四個零點；當時，函數(shù)沒有零點．．．．．．．．．．．．．．．．．12分