Question

【題目】已知直線過(guò)點(diǎn)，圓:.

（1）求截得圓弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)的直線方程；

（2）若直線被圓N所截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）　；（2）或.

【解析】試題分析：（1）把圓N的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心的坐標(biāo)，根據(jù)題意可知直線過(guò)圓心時(shí)截得的弦最長(zhǎng)，故由及的坐標(biāo)確定出直線的方程即可；（2）設(shè)直線與圓交于和兩點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)圓心作垂直于，根據(jù)垂徑定理得到為的中點(diǎn)，從而得到，接下來(lái)分兩種情況考慮：第一，直線的斜率不存在時(shí)，可得直線的方程為，把代入圓的方程中，得到關(guān)于的一元二次方程，求出方程的解得到的值，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)得到時(shí)，弦的長(zhǎng)為，符合題意；第二，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的斜率為，由的坐標(biāo)和設(shè)出的斜率寫(xiě)出直線的方程，在直角三角形中，由的長(zhǎng)及半徑的長(zhǎng)，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離，令等于求出的的長(zhǎng)列出關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值，確定出直線的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線的方程.

試題解析：（1）顯然，當(dāng)直線通過(guò)圓心Ｎ時(shí)，被截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，由，得　 故所求直線的方程為，即.

（2）設(shè)直線與圓N交于兩點(diǎn)（如圖），作交直線于點(diǎn)Ｄ，顯然Ｄ為AB的中點(diǎn)，且有

（Ⅰ）若直線的斜率不存在，則直線的方程為，將代入，得，解得，

因此符合題意

（Ⅱ）若直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為　　即： ，由，得， ，因此，又因?yàn)辄c(diǎn)Ｎ到直線的距離

所以，即： ，此時(shí)直線的方程為，綜上可知，直線的方程為或.