Question

【題目】已知函數(shù)= ,其中.

(1)證明:當(dāng)時,函數(shù)在上為增函數(shù);

(2)設(shè)函數(shù)= ,若函數(shù)只有一個零點(diǎn),求實數(shù)的取值范圍,并求出該零點(diǎn)(可用表示).

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）作差變形，提取公因式，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性確定符號，最后根據(jù)單調(diào)性定義確定增減性（2）先化為關(guān)于二次方程，再根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系確定二次函數(shù)零點(diǎn)，進(jìn)而確定實數(shù)的取值范圍.

試題解析：(1)設(shè),

由=得==

因為,

所以,即

又,所以即

所以在上為增函數(shù).

(2) = =

令,得=

即=,

因為只有一個零點(diǎn),

即方程=只有一解,

設(shè),則

令= ,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個正的零點(diǎn),

時,因為,所以對稱軸在的右側(cè)

又

所以僅當(dāng)時, 只有一個正的零點(diǎn),

故,解得,

此時, ,

由;

解得的零點(diǎn)為.

②當(dāng)時,因為=,

所以對稱軸在的左側(cè),

在上為減函數(shù),

又= =,

所以在上僅有一個零點(diǎn),

因而在上僅有一個零點(diǎn),此時=

由=知,零點(diǎn)為,

綜上,所求的取值范圍是或,

且當(dāng)時,零點(diǎn)為,

當(dāng)時,零點(diǎn)為.