Question

已知偶函數(shù)f（x）=ax²+bx+c在點(diǎn)（1，1）處的切線與直線x+2y+9=0垂直，函數(shù)g（x）=f（x）+mln（x+1）（m≠0）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式
（2）當(dāng)m＜

1

2

時(shí)，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：常規(guī)題型,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：第（1）問根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，可以求出b，然后利用函數(shù)f（x）=ax²+bx+c在點(diǎn)（1，1）處的切線與直線x+2y+9=0垂直，可以構(gòu)建a，c的方程組求出a，c；第（2）問在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要按方程g′（x）=0的根與定義域的關(guān)系分類討論．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x）偶函數(shù)，所以b=0，
因?yàn)閒′（x）=2ax+b=2ax，由題意知：

a+c=1 2a×(- 1 2 )=-1

，
解得

a=1 c=0

，所以f（x）=x²，…3分
（Ⅱ）g（x）=x²+mln（x+1），由題意知，g（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
g′（x）=2x+

m

x+1

=

2x2+2x+m

x+1

當(dāng)m＜

1

2

時(shí)，x1=

-1- 1-2m

2

，x2=

-1+ 1-2m

2

，
∵m＜0時(shí)，x1=

-1- 1-2m

2

＜-1，x2=

-1+ 1-2m

2

＞-1，
即x₁∈（-∞，-1），x₂∈（-1，+∞），
∴m＜0時(shí)，g′（x），g（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-1，x2）	x2	（x2，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

由表可知：m＜0時(shí)，
函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

-1+ 1-2m

2

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，

-1+ 1-2m

2

），
g（x）有唯一極小值點(diǎn)x =

-1+ 1-2m

2

，
當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，x1=

-1- 1-2m

2

＞-1
∴x₁，x₂∈（-1，+∞）
此時(shí)，g′（x），g（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

由表可知：當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，

-1- 1-2m

2

），（

-1+ 1-2m

2

，+∞）；
單調(diào)遞減區(qū)間為（

-1- 1-2m

2

，

-1+ 1-2m

2

），
函數(shù)g（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)x=

-1- 1-2m

2

和一個(gè)極小值點(diǎn)x=

-1+ 1-2m

2

，
綜上所述：
m＜0時(shí)，
函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

-1+ 1-2m

2

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，

-1+ 1-2m

2

），
g（x）有唯一極小值點(diǎn)x =

-1+ 1-2m

2

，
0＜m＜

1

2

時(shí)，
函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，

-1- 1-2m

2

），（

-1+ 1-2m

2

，+∞）；
單調(diào)遞減區(qū)間為（

-1- 1-2m

2

，

-1+ 1-2m

2

），
函數(shù)g（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)x=

-1- 1-2m

2

和一個(gè)極小值點(diǎn)x=

-1+ 1-2m

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值的基本題型，考查了分類討論的思想，關(guān)鍵是抓住分類的標(biāo)準(zhǔn)．