Question

如圖，用木板AB借助墻角MCN轉(zhuǎn)成一個(gè)三角形ABC區(qū)域，用以堆放谷物，已知∠MCN=

2

3

π，AB=

3

．
（Ⅰ）若AC=x，BC=y，試寫出一個(gè)關(guān)于變量x，y的方程；
（Ⅱ）若∠ABC=θ，試用θ表示△ABC的面積f（θ），并將f（θ）化簡為Asin（ωx+φ）+b的形式；
（Ⅲ）請你利用（Ⅰ）（Ⅱ）中的一個(gè)結(jié)論，求出△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用,正弦定理,余弦定理

專題：綜合題,解三角形

分析：（Ⅰ）在△ABC中，利用余弦定理，可得結(jié)論；
（Ⅱ）在△ABC中，利用正弦定理，求出AC，BC，可得△ABC的面積f（θ）；
（Ⅲ）利用三角函數(shù)的細(xì)致，我們即可求出△ABC面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，∠MCN=

2

3

π，AB=

3

，AC=x，BC=y，
由余弦定理可得x²+y²+xy=3（0＜x，y＜

3

）；
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理得

AC

sinθ

=

BC

sin( π 3 -θ)

=

3

sin 2π 3

=2，
∴AC=2sinθ，BC=2sin（

π

3

-θ），
∴△ABC的面積f（θ）=

1

2

|AC||BC|sin∠ACB=

3

sinθsin（

π

3

-θ）
=

3

sinθ（

3

2

cosθ-

1

2

sinθ）=

3

2

sin（2θ+

π

6

）-

3

4

θ∈（0，

π

3

）；
（Ⅲ）選（Ⅱ）：f（θ）=

3

2

sin（2θ+

π

6

）-

3

4

，
∵θ∈（0，

π

3

），
∴2θ+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

）
∴2θ+

π

6

=

π

2

，即θ=

π

6

時(shí)，△ABC面積的最大值為

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查余弦定理、正弦定理，考查三角形面積的計(jì)算，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．