Question

已知x∈R，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)f（x）=

[x]

x

-a（x＞0）有且僅有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由題意可得，方程

[x]

x

=a在（0，+∞）上有且僅有3個實數(shù)根，且 a≥0，[x]=1，2，3．分別求得[x]=1，2，3，4時，a的范圍，從而確定滿足條件的a的范圍．

解答： 解：因為f（x）=

[x]

x

-a，有且僅有3個零點，
則方程

[x]

x

=a在（0，+∞）上有且僅有3個實數(shù)根，且a≥0．
∵x＞0，∴[x]≥0； 若[x]=0，則

[x]

x

=0；
若[x]≥1，因為[x]≤x＜[x]+1，
∴

[x]

[x]+1

＜

[x]

x

≤1，
∴

[x]

[x]+1

＜a≤1，
且

[x]

[x]+1

隨著[x]的增大而增大．
故不同的[x]對應不同的a值，
故有[x]=1，2，3．
若[x]=1，則有

1

2

＜

[x]

x

≤1；
若[x]=2，則有

2

3

＜

[x]

x

≤1；
若[x]=3，則有

3

4

＜

[x]

x

≤1；
若[x]=4，則有

4

5

＜

[x]

x

≤1．
綜上所述，

3

4

＜a≤

4

5

．
故答案為：（

3

4

，

4

5

）．

點評：本題考察了函數(shù)零點的判定定理，分類討論思想，是一道基礎題．