Question

【題目】設(shè)函數(shù)

，曲線

過點

，且在點

處的切線方程為

.

（1）求

的值；

（2）證明：當(dāng)

時，

；

（3）若當(dāng)

時，

恒成立，求實數(shù)

的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）

；（2）詳見解析；（3）

.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得

，再結(jié)合

聯(lián)立方程組，解得

的值；（2）即證明差函數(shù)

的最小值非負(fù)，先求差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，為研究導(dǎo)函數(shù)符號，需對導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)，得導(dǎo)函數(shù)最小值為零，因此差函數(shù)單調(diào)遞增，也即差函數(shù)最小值為

，（3）不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題，本題仍研究差函數(shù)

，因為

，所以

.先求差函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得

，所以分

進(jìn)行討論：當(dāng)

時，

滿足題意；當(dāng)

時，能找到一個減區(qū)間，使得

不滿足題意.

試題解析：（1）由題意可知，

定義域為

，

，

．

（2）

，

設(shè)

，

，

由

，

在

上單調(diào)遞增，

∴

，

在

上單調(diào)遞增，

．

∴

．

（3）設(shè)

,

，

，

由（2）中知

，

，

∴

，

當(dāng)

即

時，

，

所以

在

單調(diào)遞增，

，成立．

②當(dāng)

即

時，

，令

，得

，

當(dāng)

時，

單調(diào)遞減，則

，

所以

在

上單調(diào)遞減，所以

，不成立．

綜上，

．