Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax2-（2a+1）x+2lnx（x∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值及函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=（x²-2x）e^x，若對任意x₁∈（0，2），均存在x₂∈（0，2），使得f（x₁）＜g（x₂），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)曲線y=f（x）在x=l和x=3處的切線互相平行，求得a值，再利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意得，若要命題成立，只須當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）_max＜g（x）_max．利用導(dǎo)數(shù)分別求得f（x）、g（x）的最大值，解不等式得出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx(x∈R)．
∴f′（x）=ax-（2a+1）+

2

x

，f′（1）=-a+1，f′（3）=a-

1

3

，
由f′（1）=f′（3）得a=

2

3

，f′（x）=

2

3

x-

7

3

+

2

x

，----------------------（3分）
所以y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

3

2

），（2，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（

3

2

，2）-------------------------------（6分）
（2）若要命題成立，只須當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）_max＜g（x）_max．
由g'（x）=（x²-2）e^x可知，當(dāng)x∈（0，2]時g（x）_max=g（2）=0，
所以只須f（x）_max＜0．-----------------------------------（8分）
對f（x）來說，f′（x）=ax-（2a+1）+

2

x

=

(ax-1)(x-2)

x

，
①當(dāng)a＞

1

2

時，f（x）_max=f（

1

a

）=-2lna-

1

2a

-2，
當(dāng)a≥1時，顯然f（x）_max＜0，滿足題意，
當(dāng)

1

2

＜a＜1時，令h(x)=-2lnx-

1

2x

-2(

1

2

＜x＜1)，h′(x)=-

2

x

+

1

2x2

＜0，所以h（x）遞減，所以h（x）＜0，滿足題意，
所以a＞

1

2

滿足題意；-----------------------------（10分）
②當(dāng)a≤

1

2

時，f（x）在x∈（0，2）上單調(diào)遞增，
所以f（x）_max=f（2）=2ln2-2a-2＜0得ln2-1＜a≤

1

2

，…（12分）
綜上所述，a＞ln2-1．---------------------------（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線斜率及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識，考查等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想等運(yùn)用能力，屬難題．