已知圓O的內(nèi)接△ABC中，D為BC上一點，且△ADC為正三角形，點E為BC的延長線上一點，AE為圓O的切線，求證：CD2=BD•EC．
考點：與圓有關(guān)的比例線段
專題：選作題,立體幾何
分析：先證明△ABD∽△EAC，可得AD•CA=BD•EC，再結(jié)合△ACD為等邊三角形，所以AD=AC=CD，即可得出結(jié)論．
解答： 證明：因為AE為圓O的切線，所以∠ABD=∠CAE．             …（2分）
因為△ACD為等邊三角形，所以∠ADC=∠ACD，
所以∠ADB=∠ECA，所以△ABD∽△EAC．               …（6分）
所以
AD
BD
=
EC
CA
，即AD•CA=BD•EC．                      …（8分）
因為△ACD為等邊三角形，所以AD=AC=CD，
所以CD2=BD•EC．…（10分）
點評：本題考查三角形相似的判斷，考查圓的切線的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

為加快新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，推進(jìn)節(jié)能減排，國家鼓勵消費者購買新能源汽車．某校研究性學(xué)習(xí)小組，從汽車市場上隨機(jī)選取了M輛純電動乘用車，根據(jù)其續(xù)駛里程R（單次充電后能行駛的最大里程）作出了頻率與頻數(shù)的統(tǒng)計表：
分組 頻數(shù) 頻率
80≤R＜150 10
1
6
150≤R＜250 30 x
R≥250 y z
合計 M 1
（Ⅰ）求x，y，z，M的值；
（Ⅱ）若用分層抽樣的方法從這M輛純電動乘用車中抽取一個容量為6的樣本，從該樣本中任選2輛，求選到的2輛車?yán)m(xù)駛里程為150≤R＜250的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
ax2-（2a+1）x+2lnx（x∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值及函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=（x2-2x）ex，若對任意x1∈（0，2），均存在x2∈（0，2），使得f（x1）＜g（x2），求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，AD是的∠A的平分線，圓O經(jīng)過點A與BC切于點D，與AB，AC相交于E、F，連結(jié)DF，DE．
（Ⅰ）求證：EF∥BC；    
（Ⅱ）求證：DF2=AF•BE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

盒子中裝有形狀、大小完全相同的五張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5．現(xiàn)從中任意抽出三張．
（1）求三張卡片所標(biāo)數(shù)字之和能被3整除的概率；
（2）求三張卡片所標(biāo)數(shù)字之積為偶數(shù)的條件下，三張卡片數(shù)字之和為奇數(shù)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2ax-
1
x
-（2+a）lnx（a≥0）．
（1）當(dāng)a=0時，求f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＞0時，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）若對任意的a∈（2，3），x1，x2∈[1，3]，恒有（m-ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2）|成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

銳角△ABC的兩個頂點為A（-1，2），B（2，-2），BC=8．若
3
sinB=cosB+1
（Ⅰ）求角B的大小
（Ⅱ）求邊AC的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若鈍角三角形三邊長為a+1，a+2，a+3，則a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=tan（
πx
2
+
π
4
）的最小正周期是
 
．

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同步練習(xí)冊答案