Question

已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為2，若.
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（在第一象限內(nèi)），又、是此橢圓上兩點(diǎn)，并且滿足，求證：向量與共線.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析．

解析試題分析：（Ⅰ）求此橢圓的方程，由題意到上頂點(diǎn)的距離為2，即，，再由，即可求出，從而得橢圓的方程；（Ⅱ）求證：向量與共線，即證，由于點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，可得，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（在第一象限內(nèi)），可由，解得，得，只需求出直線的斜率，由題意，而與的平分線平行，可得的平分線垂直于軸，設(shè)的斜率為，則的斜率；因此和的方程分別為：、；其中；分別代入橢圓方程，得的表達(dá)式，從而可得直線的斜率，從而可證．
試題解析：（Ⅰ）由題知：
（Ⅱ）因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5a/2/6jiep1.png" style="vertical-align:middle;" />，從而與的平分線平行，
所以的平分線垂直于軸；
由不妨設(shè)的斜率為，則的斜率；因此和的方程分別為：、；其中； 由得；，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/47/e/1ahiy2.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上；所以是方程的一個(gè)根；
從而；    同理：；得,
從而直線的斜率；又、；所以；所以所以向量與共線.
考點(diǎn)：橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系．