在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．已知為等腰三角形.

（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡
方程.

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）先利用平面向量的數(shù)量積確定為鈍角，從而得到當(dāng)時(shí)，必有，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列有關(guān)、、的方程，求出與之間的等量關(guān)系，從而求出離心率的值；（2）先求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出交點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用以及、、三點(diǎn)共線列方程組消去，從而得出點(diǎn)的軌跡方程.
試題解析：（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，，，
，，
，所以為鈍角，
由于為等腰三角形，，，即，
即，整理得，即，
由于，故有，即橢圓的離心率為；
（2）易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的斜率為，
故直線的方程為，由于，，
故橢圓的方程為，即，
將直線的方程代入橢圓方程并化簡得，解得或，
于是得到點(diǎn)，，
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)在直線上，所以，
，
，
，
即，
整理得，即點(diǎn)的軌跡方程為.
考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.兩點(diǎn)間的距離；3.平面向量的數(shù)量積；4.動點(diǎn)的軌跡方程

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為2，若.
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（在第一象限內(nèi)），又、是此橢圓上兩點(diǎn)，并且滿足，求證：向量與共線.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線：和⊙：，過拋物線上一點(diǎn)作兩條直線與⊙相切于、兩點(diǎn)，分別交拋物線為E、F兩點(diǎn)，圓心點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為．

（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)的角平分線垂直軸時(shí)，求直線的斜率；
（Ⅲ）若直線在軸上的截距為，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知三點(diǎn)P（5，2）、F1（－6，0）、F2（6，0）。
（1）求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P、F1、F2關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)分別為，求以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)、.記其上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.
（1）求圓心在線段上，且與坐標(biāo)軸相切于橢圓焦點(diǎn)的圓的方程；
（2）在橢圓位于第一象限的弧上求一點(diǎn)，使的面積最大.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為.從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線，為垂足.
（Ⅰ）求線段中點(diǎn)的軌跡方程；
（Ⅱ）已知直線與的軌跡相交于兩點(diǎn)，求的面積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知是拋物線上的點(diǎn)，是的焦點(diǎn)， 以為直徑的圓與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為.
（Ⅰ）求與的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)且斜率大于零的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為，證明：直線與圓相切.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)，是拋物線上相異兩點(diǎn)，且滿足．
（Ⅰ）若的中垂線經(jīng)過點(diǎn)，求直線的方程；
（Ⅱ）若的中垂線交軸于點(diǎn)，求的面積的最大值及此時(shí)直線的方程．

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