【題目】如圖:在四棱錐V﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,其它四個側(cè)面都是側(cè)棱長為 的等腰三角形.
(1)求二面角V﹣AB﹣C的平面角的大;
(2)求四棱錐V﹣ABCD的體積.

【答案】
(1)解:取AB的中點M,CD的中點N,連MN、VM、VN,

∵底面ABCD是邊長為2的正方形,∴MN⊥AB,MN=2

又∵VA=VB= ,M為AB的中點,∴VM⊥AB

∴∠VMN是二面角V﹣AB﹣C的平面角

在Rt△VAM中,AM=1,VA= ,

∴VM= =2,同理可得VN=2

∴△VMN是正三角形,可得∠VMN=60°

即二面角V﹣AB﹣C的大小為60°


(2)解:由(1)知AB⊥平面VMN

∵AB平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面VMN

過V作VO⊥MN于點O,

∵平面ABCD⊥平面VMN,平面ABCD∩平面VMN=MN,VO平面VMN

∴VO⊥平面ABCD,得VO是四棱錐V﹣ABCD的高

∵VM=MN=NV=2,∴VO=

因此,四棱錐V﹣ABCD的體積為

V= SABCD×VO= =


【解析】(1)取AB的中點M,CD的中點N,連MN、VM、VN.利用正方形的性質(zhì)和等腰三角形的“三線合一”,證出MN⊥AB且VM⊥AB,得到∠VMN是二面角V﹣AB﹣C的平面角.再根據(jù)題中數(shù)據(jù)算出△VMN是正三角形,得∠VMN=60°,即得二面角V﹣AB﹣C的大。唬2)過V作VO⊥MN于點O,利用面面垂直的性質(zhì)與判定證出VO⊥平面ABCD,得VO是四棱錐V﹣ABCD的高.正三角形△VMN中算出VO的長,結(jié)合錐體的體積公式和題中的數(shù)據(jù),即可得到四棱錐V﹣ABCD的體積.

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