Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD 中，△PAD 為等邊三角形，底面ABCD為等腰梯形，滿足AB∥CD，AD＝DCAB＝2，且平面PAD⊥平面ABCD．

（1）證明：BD⊥平面PAD

（2）求點(diǎn)C到平面PBD的距離．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析 (2)．

【解析】

（1）在梯形ABCD中，取AB中點(diǎn)E，連結(jié)DE，推導(dǎo)出點(diǎn)D在以AB為直徑的圓上，由此能證明BD⊥平面PAD．

（2）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，則PO⊥AD，設(shè)C到平面PBD的距離為h，由VP﹣BCD＝VC﹣PBD，能求出點(diǎn)C到平面PBD的距離．

（1）在梯形ABCD中，取AB中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則DE∥BC，且DE＝BC，

故DE，即點(diǎn)D在以AB為直徑的圓上，

∴BD⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

BD平面ABCD，∴BD⊥平面PAD．

（2）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，則PO⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PO⊥平面ABCD，

由（1）知△ABD和△PBD都是直角三角形，

∴BD2，

∴2，，

解得PO，

設(shè)C到平面PBD的距離為h，

由VP﹣BCD＝VC﹣PBD，得，

解得h，

∴點(diǎn)C到平面PBD的距離為．