【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù),且).
(1)討論的單調性;
(2)若有兩個零點,求的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)首先求函數(shù)的導數(shù),并化簡,然后再分情況討論函數(shù)的單調性;(2)根據(jù)(1)的判斷單調性的結果,也需分情況討論函數(shù)的單調性和極值點的正負,并且結合零點存在性定理說明零點個數(shù),討論求參數(shù)的取值范圍.
解:(1)
①當時,,則
當時,,故在單調遞減;
當時,,故在單調遞增.
②當時,由得
若,則,故在R上單調遞增.
若,則:
當或時,,故在,單調遞增.
當時,,故在單調遞減.
(2)①當時, 在R上單調遞增,不可能有兩個零點.
②當時,在,單調遞增,單調遞減
故當時,取得極大值,極大值為
此時,不可能有兩個零點.
③當時,,由得
此時,僅有一個零點.
④當時,在單調遞減; 在單調遞增.
有兩個零點,
解得
而則
取,則
故在、 各有一個零點
綜上,的取值范圍是
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【題目】已知圓,動圓與圓外切,且與直線相切,該動圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程
(2)過點的直線與拋物線相交于兩點,拋物線在點A的切線與交于點N,求面積的最小值.
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【題目】在四棱錐P﹣ABCD 中,△PAD 為等邊三角形,底面ABCD為等腰梯形,滿足AB∥CD,AD=DCAB=2,且平面PAD⊥平面ABCD.
(1)證明:BD⊥平面PAD
(2)求點C到平面PBD的距離.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,,,AC=4,D在AC上且AD:DC=3:1,當∠AED最大時,△AED的面積為( )
A.B.2C.3D.
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【題目】如圖,已知BD為圓錐AO底面的直徑,若,C是圓錐底面所在平面內一點,,且AC與圓錐底面所成角的正弦值為.
(1)求證:平面平面ACD;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣1|,關于x的不等式f(x)<3﹣|2x+1|的解集記為A.
(1)求A;
(2)已知a,b∈A,求證:f(ab)>f(a)﹣f(b).
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【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=3,D是BC的中點.
(1) 求直線DC1與平面A1B1D所成角的正弦值;
(2) 求二面角的余弦值.
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【題目】秉承提升學生核心素養(yǎng)的理念,學校開設以提升學生跨文化素養(yǎng)為核心的多元文化融合課程.選某藝術課程的學生唱歌、跳舞至少會一項,已知會唱歌的有人,會跳舞的有人,現(xiàn)從中選人,設為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數(shù),且
(1)求選該藝術課程的學生人數(shù);
(2)寫出的概率分布列并計算.
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