Question

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的集合：存在非零常數(shù)k，對(duì)定義域中的任意x，等式f（kx）=

k

2

+f（x）恒成立．現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)：f（x）=ax+b（a≠0），g（x）=log₂x，則函數(shù)f（x）、g（x）與集合M的關(guān)系為（　�。�

• A、f（x）∈M，g（x）∈M
• B、f（x）∉M，g（x）∈M
• C、f（x）∈M，g（x）∉M
• D、f（x）∉M，g（x）∉M

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,元素與集合關(guān)系的判斷

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分別對(duì)兩個(gè)函數(shù)，利用存在非零常數(shù)k，對(duì)定義域中的任意x，等式f（kx）=

k

2

+f（x）恒成立，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）若f（x）=ax+b∈M，則存在非零常數(shù)k，對(duì)任意x∈D均有f（kx）=akx+b=

k

2

+f（x），
即a（k-1）x=

k

2

恒成立，得

k-1=0 k=0

無解，所以f（x）∉M．
（2）log₂（kx）=

k

2

+log₂x，則log₂k=

k

2

，k=4，k=2時(shí)等式恒成立，所以f（x）=log₂x∈M．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查新定義，正確理解新定義是關(guān)鍵．