Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且公差不為0，{b_n}為等比數(shù)列，a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₄=b₃．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）設(shè)c_n=n²a_n，其前n項(xiàng)和為S_n，求證：3≤

3

S1

+

5

S2

+…+

2n+1

Sn

＜4．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意推導(dǎo)出（1+d）²=1+3d，解得d=1．由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）依題意cn=n2an=n3，從而得到S_n=

1

4

n2(n+1)2，由此利用裂項(xiàng)求和法和放縮法能證明3≤

3

S1

+

5

S2

+…+

2n+1

Sn

＜4．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
則由題意知a₂=1+d，a₄=1+3d…．（2分）
∵{b_n}為等比數(shù)列，a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₄=b₃，
∴a22=a1•a4，
即（1+d）²=1+3d…（4分）
整理，得d²=d，又d≠0，解得d=1．…（5分）
∴a_n=1+（n-1）=n．…（6分）
（Ⅱ）證明：依題意cn=n2an=n3．（7分）
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=1³+2³+…+n³=

1

4

n2(n+1)2…．（8分）
∴

2n+1

Sn

=

4(2n+1)

n2(n+1)2

=4

(n+1)2-n2

n2(n+1)2

=4(

1

n2

-

1

(n+1)2

)…．（10分）
∴

3

S1

+

5

S2

+…+

2n+1

Sn

＜4(

1

12

-

1

22

)+4(

1

22

-

1

32

)+…+4(

1

n2

-

1

(n+1)2

)
=4(1-

1

(n+1)2

)＜4…．（12分）
∵

2n+1

Sn

＞0，∴

3

S1

+

5

S2

+…+

2n+1

Sn

≥

3

S1

=3
綜上所述：3≤

3

S1

+

5

S2

+…+

2n+1

Sn

＜4…..（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查考生分析問題、解決問題的能力．對(duì)于第（Ⅰ）問，由已知條件遞推關(guān)系可求出公差d，進(jìn)而可求出{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；對(duì)于第（Ⅱ）問考察裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．