【題目】正四棱錐P﹣ABCD的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2,過(guò)點(diǎn)A作一個(gè)與側(cè)棱PC垂直的平面α,則平面α被此正四棱錐所截的截面面積為_____,平面α將此正四棱錐分成的兩部分體積的比值為_____.

【答案】 （或2）

【解析】

由已知得△PAC為正三角形,取PC的中點(diǎn)G,得AG⊥PC,且AG.然后證明AG⊥EF,且求得AG與EF的長(zhǎng)度,可得截面四邊形的面積；再求出四棱錐P﹣AEGF的體積與原正四棱錐的體積,則平面α將此正四棱錐分成的兩部分體積的比值可求.

解：如圖,

在正四棱錐P﹣ABCD中,由底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為,

可得△PAC為正三角形,取PC的中點(diǎn)G,得AG⊥PC,且AG.

設(shè)過(guò)AG與PC垂直的平面交PB于E,交PD于F,連接EF,

則EG⊥PC,FG⊥PC,可得Rt△PGE≌Rt△PGF,得GE＝GF,PE＝PF,

在△PAE與△PAF中,由PA＝PA,PE＝PF,∠APE＝∠APF,得AE＝AF.

∴AG⊥EF.

在等腰三角形PBC中,由PB＝PC＝2,BC＝2,得cos∠BPC,

則在Rt△PGE中,得.

同理PF,則EF∥DB,得到.

∴；

則.

又,

∴平面α將此正四棱錐分成的上下兩部分體積的比為.

故答案為：；（或2）.

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若這兩條棱所在的直線(xiàn)相交，則的值是這兩條棱所在直線(xiàn)的夾角大�。ɑ《戎疲�；

若這兩條棱所在的直線(xiàn)平行，則；

若這兩條棱所在的直線(xiàn)異面，則的值是這兩條棱所在直線(xiàn)所成角的大小(弧度制).

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