Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，△BCD為正三角形，現(xiàn)將△BCD沿BD向上折起，折起后的點(diǎn)C記為C′，且CC′= ，連接CC′，E為CC′的中點(diǎn)．

文科：
（1）求證：AC′∥平面BDE；
（2）求證：CC′⊥平面BDE；
（3）求三棱錐C′﹣BCD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OE，則在菱形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，

又E為CC′的中點(diǎn)，∴OE∥AC′，

∵OE平面BDE，AC′平面BDE，

∴AC′∥平面BDE

（2）證明：由翻折前后可知：

BC=BC′，DC=DC′，

又E為CC′中點(diǎn)，∴BE⊥CC′，DE⊥CC′，

又BE∩DE=E，∴CC′⊥平面BDE

（3）解：連接OE，則由（2）知△CEO為直角三角形，OE⊥BD，

∴BD=2，OE= ，

∴三棱錐C′﹣BCD的體積：

=

=

=

= ．

【解析】（1）連接OE，則OE∥AC′，由此能證明AC′∥平面BDE．（2）由翻折前后可知BE⊥CC′，DE⊥CC′，由此能證明CC′⊥平面BDE．（3）連接OE，三棱錐C′﹣BCD的體積： ，由此能求出結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線(xiàn)與平面平行的判定和直線(xiàn)與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行；一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．