Question

如圖，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F₂作x軸的垂線交雙曲線的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F₁作直線PF₁的垂線交直線l：x=-

a2

c

于點(diǎn)Q．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，6），求雙曲線C的方程及點(diǎn)P處的切線方程；
（2）證明：直線PQ與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)；
（3）若過(guò)l：x=-

a2

c

上任一點(diǎn)M作雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的兩條切線，切點(diǎn)分別為T(mén)₁，T₂，問(wèn)：直線T₁T₂是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：壓軸題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，6），建立方程組，求出a，b，即可求得雙曲線C的方程；求導(dǎo)數(shù)可得切線斜率，進(jìn)而可求點(diǎn)P處的切線方程；
（2）求出QF₁的斜率為-

4

3

，方程為y=-

4

3

（x+4），可得Q的坐標(biāo)，從而可得直線PQ的斜率為

6+4

4+1

=2，即PQ為點(diǎn)P處的切線，即可證明直線PQ與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)；
（3）求出MT₁：y-y₁=

3x1

3x12-12

（x-x₁）；MT₂：y-y₂=

3x2

3x22-12

（x-x₂），代入M（-1，t），從而可得T₁（x₁，y₁），T₂（x₂，y₂）都滿(mǎn)足方程t-y=

3x

3x2-12

（-1-x），即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：由題意，

a2+b2=42 16 a2 - 36 b2 =1

，
∴a²=4，b²=12
∴雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

12

=1；
由

x2

4

-

y2

12

=1，可得y=

3x2-12

，∴y′=

3x

3x2-12

，
∴x=4時(shí)，y′=2，
∴點(diǎn)P處的切線方程為y-6=2（x-4），即2x-y-2=0；
（2）證明：直線PF₁的斜率為

6-0

4+4

=

3

4

，
∴QF₁的斜率為-

4

3

，方程為y=-

4

3

（x+4），
∵準(zhǔn)線l：x=-

a2

c

=-

4

4

=-1，代入y=-

4

3

（x+4），可得Q（-1，-4），
∴直線PQ的斜率為

6+4

4+1

=2，即PQ為點(diǎn)P處的切線，
∴直線PQ與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)；
（3）解：雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

12

=1，左準(zhǔn)線方程為x=-1，
設(shè)M（-1，t），T₁（x₁，y₁），T₂（x₂，y₂）．
則MT₁：y-y₁=

3x1

3x12-12

（x-x₁）；MT₂：y-y₂=

3x2

3x22-12

（x-x₂），
代入M（-1，t），可得t-y₁=

3x1

3x12-12

（-1-x₁）；MT₂：t-y₂=

3x2

3x22-12

（-1-x₂），
∴T₁（x₁，y₁），T₂（x₂，y₂）都滿(mǎn)足方程t-y=

3x

3x2-12

（-1-x）．
顯然t的變化，不能使方程經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于難題．