已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F和A，且拋物線y2=-8x的焦點(diǎn)恰好為F，原點(diǎn)O到直線AF的距離為
2
5
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l交橢圓C于M、N，且F為△AMN的垂心，試求直線l的方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）求出直線AF的方程，利用原點(diǎn)O到直線AF的距離為
2
5
5
，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）求出l：y=-2x+m代入
x2
5
+y2=1消y，利用MF⊥AN，可得
MF
•
AN
=0，即（-2-x1，-y1）•（x2，y2-1）=0，從而可得結(jié)論．
解答： 解：（1）拋物線y2=-8x的焦點(diǎn)為F（-2，0），
∴直線AF的方程為
x
-2
+
y
b
=1，即bx-2y+2b=0，
∵原點(diǎn)O到直線AF的距離為
2
5
5
，
∴
2b
b2+4
=
2
5
5
，
∴b=1，
∵c=2，
∴a2=b2+c2=5，
∴橢圓C的方程為
x2
5
+y2=1；
（2）設(shè)l：y=kx+m，
∵KAF=
1
2
，且FM⊥l，
∴k=-2，
∴l(xiāng)：y=-2x+m，且設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
由y=-2x+m代入
x2
5
+y2=1消y，得21x2-20mx+5m2-5=0
△=400m2-84（5m2-5）＞0，x1+x2=
20m
21
，x1x2=
5m2-5
21
．
y1y2=（-2x1+m）（-2x2+m）=4x1x2-2m（x1+x2）+m2=
m2-20
21

又F為△AMN的垂心，
∴MF⊥AN，∴
MF
•
AN
=0，
∴（-2-x1，-y1）•（x2，y2-1）=0，
∴-2（x1+x2）-x1x2-y1y2+m=0，
∴-2•
20m
21
-
5m2-5
21
-
m2-20
21
+m=0，
∴6m2+21m-25=0，
∴m=
-21-
1041
12
（正值舍去），
∴直線l的方程為y=-2x+
-21-
1041
12
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查小時(shí)分析解決問(wèn)題的能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上找一點(diǎn)M，則AM＜AC的概率為（　　）
A、
2
2
B、
3
4
C、
2
3
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+lnx（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）在區(qū)間[e，e2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）如果函數(shù)g（x），f1（x），f2（x）在公共定義域D上，滿足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就稱(chēng)g（x）為f1（x），f2（x）的“伴隨函數(shù)”．已知函數(shù)f1(x)=(a-
1
2
)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=
1
2
x2+2ax．若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f1（x），f2（x）的“伴隨函數(shù)”，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P（2，1）的距離為
10
．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)．求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2作x軸的垂線交雙曲線的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F1作直線PF1的垂線交直線l：x=-
a2
c
于點(diǎn)Q．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，6），求雙曲線C的方程及點(diǎn)P處的切線方程；
（2）證明：直線PQ與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)；
（3）若過(guò)l：x=-
a2
c
上任一點(diǎn)M作雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的兩條切線，切點(diǎn)分別為T(mén)1，T2，問(wèn)：直線T1T2是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足：|PM|•|PN|=
4
1+cos∠MPN
，
（1）求P的軌跡C的方程；
（2）是否存在過(guò)點(diǎn)N（1，0）的直線l與曲線C相 交于A、B兩點(diǎn)，并且曲線C存在點(diǎn)Q，使四邊形OAQB為平行四邊形？若存在，求出平行四邊形OAQB的面積；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知F1、F2是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，且離心率e=
1
2
，若點(diǎn)P為橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|PF1|•|PF2|的最大值為4．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0），使得以PM、PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos2ωx-sin2ωx+2
3
cosωxsinωx（ω＞0），f（x）的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離大于等于
π
2
．
（Ⅰ）求ω的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊依次為a，b，c，a=
3
，b+c=3，f（A）=1，當(dāng)ω=1時(shí)，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

用符號(hào)[x）表示超過(guò)x的最小整數(shù)，如[3.9）=4，[-1.08）=-1．有下列命題：
①若函數(shù)f（x）=[x）-x，x∈R，則值域?yàn)椋?，1]；
②若x，y∈{
1
2
，3，
7
3
}，則[x）•[y）=3的概率為
1
3
；
③若x∈（1，4），則方程若[x）-x=
1
2
有三個(gè)根；
④如果數(shù)列{an}是等比數(shù)列，n∈N*，那么數(shù)列{[an）}一定不是等比數(shù)列．
其中正確的是
 
．

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