Question

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長等于12，離心率為

1

3

．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）在橢圓上任取一點(diǎn)P，過P點(diǎn)做y軸垂線段PQ，Q為垂足，當(dāng)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）依題意，可求得橢圓的半長軸a=6，半焦距c=2，從而可求得半短軸b，于是可得橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x₀，y₀），則

x0=2x y0=y

，由點(diǎn)P在橢圓上，能求出線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，2a=12，

c

a

=

1

3

，故a=6，c=2，
∴b²=a²-c²=32，
故所求橢圓的方程為：

x2

36

+

y2

32

=1．
（Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M（x，y），
點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x₀，y₀），
那么：

x0=2x y0=y

，
由點(diǎn)P在橢圓上，得

4x2

36

+

y2

32

=1，即

y2

32

+

x2

9

=1，
∴線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程是

y2

32

+

x2

9

=1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法和求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程．主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．