Question

已知橢圓

x2

m2

+

y2

16

=1(m＞0)和雙曲線

x2

n2

-

y2

9

=1(n＞0)有相同的焦點(diǎn)F₁、F₂，點(diǎn)P為橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF₁|•|PF₂|的值是

25

．

Answer 1

分析：先根據(jù)橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)F₁、F₂，得到m²-n²=25；再根據(jù)點(diǎn)P為橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)結(jié)合定義求出|PF₁|與|PF₂|的表達(dá)式，代入即可求出|PF₁|•|PF₂|的值．

解答：解：因?yàn)闄E圓

x2

m2

+

y2

16

=1(m＞0)和雙曲線

x2

n2

-

y2

9

=1(n＞0)有相同的焦點(diǎn)F₁、F₂，
所以有：m²-16=n²+9⇒m²-n²=25
設(shè)P在雙曲線的右支上，左右焦點(diǎn)F₁、F₂：
利用橢圓以及雙曲線的定義可得：|PF₁|+|PF₂|=2m   ①
|PF₁|-|PF₂|=2n    ②
由①②得：|PF₁|=m+n，|PF₂|=m-n．
∴|PF₁|•|PF₂|=m²-n²=25．
故答案為：25．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓錐曲線的綜合問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)F₁、F₂，利用定義化簡(jiǎn)．