已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e，且b，e，
1
3
為等比數(shù)列，曲線y=8-x2恰好過橢圓的焦點．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)雙曲線C2：
x2
m2
-
y2
n2
=1的頂點和焦點分別是橢圓C1的焦點和頂點，設(shè)O為坐標(biāo)原點，點A，B分別是C1和C2上的點，問是否存在A，B滿足
OA
=
1
2
OB
．請說明理由．若存在，請求出直線AB的方程．
（1）由y=8-x2=0可得x=±2
2

∴橢圓的焦點坐標(biāo)為（±2
2
，0），即c=2
2

∵b，e，
1
3
為等比數(shù)列，
∴(
c
a
)2=
1
3
b
∵a2=b2+c2
∴a=2
3
，b=2
∴橢圓C1的方程為
x2
12
+
y2
4
=1；
（2）假設(shè)存在A，B滿足
OA
=
1
2
OB
，則O，A，B三點共線且A，B不在y軸上，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y=kx
由（1）知，C2的方程為
x2
8
-
y2
4
=1
直線與橢圓方程聯(lián)立，可得（1+3k2）x2=12，即x12=
12
1+3k2

直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，可得（1-2k2）x2=8，即x22=
8
1-2k2

∵
OA
=
1
2
OB
，∴x12=
1
4
x22
∴
12
1+3k2
=
8
1-2k2

∴k2=
1
3

∴k=±
3
3

∴存在A，B滿足
OA
=
1
2
OB
，此時直線AB的方程為y=±
3
3
x．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸長為4，離心率為
1
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左右焦點．一動圓過點F2，且與直線x=-1相切．
（Ⅰ） （ⅰ）求橢圓C1的方程；
（ⅱ）求動圓圓心軌跡C的方程；
（Ⅱ）在曲線C上有四個不同的點M，N，P，Q，滿足
MF2
與
NF2
共線，
PF2
與
QF2
共線，且
PF2
•
MF2
=0，求四邊形PMQN面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，直線l：x-y+
5
=0與橢圓C1相切．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1且垂直與橢圓的長軸，動直線l2垂直于直線l1于點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（3）若A（x1，2），B（x2，y2），C（x0，y0）是C2上不同的點，且AB⊥BC，求實數(shù)y0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，P是橢圓C1上任意一點，設(shè)該雙曲線C2：以橢圓C1的焦點為頂點，頂點為焦點，B是雙曲線C2在第一象限內(nèi)的任意一點，且c=
a2-b2

（1）設(shè)
PF1
•
PF2
的最大值為2c2，求橢圓離心率；
（2）若橢圓離心率e=
1
2
時，是否存在λ，總有∠BAF1=λ∠BF1A成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點．若C1恰好將線段AB三等分，則（　　）
A、a2=
13
2
B、a2=3
C、b2=
1
2
D、b2=2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點與拋物線C2：y2=4x的焦點F重合，橢圓C1與拋物線C2在第一象限的交點為P，|PF|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）過點A（-1，0）的直線與橢圓C1相交于M、N兩點，求使
FM
+
FN
=
FR
成立的動點R的軌跡方程．

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同步練習(xí)冊答案