已知橢圓C:
x2
m2
+y2=1
的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,離心率為
2
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=x+t(t>0)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).若原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
分析:(Ⅰ)依題意,可知m>1,且e=
2
2
,由此可m2=2,從而可得橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓內(nèi),等價(jià)于x1x2+y1y2<0,將直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,可建立不等式,從而可求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)依題意,可知m>1,且e=
2
2
,所以e2=
1
2
=
a2-b2
a2
=1-
b2
a2
=1-
1
m2
,所以m2=2,即橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1
.…(5分)
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓內(nèi),等價(jià)于
π
2
<∠AOB<π
(A,O,B三點(diǎn)不共線),也就等價(jià)于
OA
OB
<0
,即x1x2+y1y2<0…①…(7分)
聯(lián)立
y=x+t
x2+2y2=2
,得3x2+4tx+2(t2-1)=0,所以△=16t2-24(t2-1)>0,即0<t2<3…②
x1+x2=
-4t
3
x1x2=
2t2-2
3
…(10分)
于是y1y2=(x1+t)(x2+t)=x1x2+t2+t(x1+x2)=
t2-2
3

代入①式得,
2t2-2
3
+
t2-2
3
<0
,即t2
4
3
適合②式…(12分)
又t>0,所以解得0<t<
2
3
3
即求.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查韋達(dá)定理,解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程,運(yùn)用韋達(dá)定理解題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2m2
+y2
=1 (常數(shù)m>1),P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn),M是曲線C上的右頂點(diǎn),定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)
(1)若M與A重合,求曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若m=3,求|PA|的最大值與最小值;
(3)若|PA|的最小值為|MA|,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
m2
+
y2
n2
=1(0<m<n)
的離心率為
3
2
,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(
3
2
,1)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+t(k≠0)交橢圓C于A、B兩點(diǎn),D為AB的中點(diǎn),kOD為直線OD的斜率,求證:k•kOD為定值;
(3)在(2)條件下,當(dāng)t=1時(shí),若
OA
OB
的夾角為銳角,試求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C 1
x2
a2
+
y2
b2
=λ1
(a>b>0,λ1>0)和雙曲線C 2
x2
m2
-
y2
n2
=λ2(λ2≠0)
,給出下列命題:
①對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)λ1,曲線C1都有相同的焦點(diǎn);
②對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)λ1,曲線C1都有相同的離心率;
③對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)λ2,曲線C2都有相同的漸近線;
④對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)λ2,曲線C2都有相同的離心率.
其中正確的為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
m2
+y2=1
(常數(shù)m>1),P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn),M是曲線C上的右頂點(diǎn),定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)
(1)若M與A重合,求曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若m=3,求|PA|的最大值與最小值;
(3)若|PA|的最小值為|MA|,求實(shí)數(shù)m 的取值范圍.

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