Question

已知橢圓

x2

m2+m

+

y2

m

=1的右焦點為F，右準線為l，且直線y=x與l相交于A點．
（Ⅰ）若⊙C經(jīng)過O、F、A三點，求⊙C的方程；
（Ⅱ）當m變化時，求證：⊙C經(jīng)過除原點O外的另一個定點B；
（Ⅲ）若

AF

•

AB

＜5時，求橢圓離心率e的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意求出右焦點的坐標和有準線的方程，再求出A點的坐標，用待定系數(shù)法求圓C的方程，設(shè)為一般方程更好計算．
（Ⅱ）根據(jù)點在圓上，點的坐標滿足圓的方程，設(shè)點B的坐標代入圓C的方程，把含有m的整理在一起后，列出方程求解．
（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）求的結(jié)果和數(shù)量積的坐標表示，用m表示所給的不等式，求出范圍；再有橢圓的方程本身的幾何意義，求m出的范圍，兩個范圍再求交集，最后用m表示離心率求出范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵a²=m²+m，b²=m，
∴c²=m²，即c=m，∴F（m，0），準線x=1+m，
∵直線y=x與右準線為l相交于A點
∴A（1+m，1+m）
設(shè)⊙C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
將O、F、A三點坐標代入得：

F=0 m2+Dm=0 2+2m+D+E=0

，
解得

F=0 D=-m E=-2-m

∴⊙C的方程為x²+y²-mx-（2+m）y=0；
（Ⅱ）設(shè)點B坐標為（p，q），
則p²+q²-mp-（2+m）q=0，
整理得：p²+q²-2q-m（p+q）=0對任意實數(shù)m都成立．
∴

p+q=0 p2+q2-2q=0

，解得

p=0 q=0

或

p=-1 q=1

，
故當m變化時，⊙C經(jīng)過除原點O外的另外一個定點B（-1，1）；
（Ⅲ）由B（-1，1）、F（m，0）、A（1+m，1+m）得

AF

=（-1，-1-m），

AB

=（-2-m，-m）
∴

AF

•

AB

=m²+2m+2＜5，解得-3＜m＜1
又∵

m2+m＞0 m＞0

，∴0＜m＜1
∴橢圓的離心率e=

m

m2+m

=

m2 m2+m

=

1 1+ 1 m

（0＜m＜1）
∴橢圓的離心率的范圍是0＜e＜

2

2

．

點評：本題用待定系數(shù)法求圓的方程和證明圓C過定點，求圓的方程時設(shè)一般方程計算簡單；再求離心率的范圍時，容易出差橢圓方程本身隱含的條件，即a²＞0，b²＞0．