已知橢圓C:
x2
m2
+
y2
n2
=1(0<m<n)
的離心率為
3
2
,且經(jīng)過點P(
3
2
,1)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+t(k≠0)交橢圓C于A、B兩點,D為AB的中點,kOD為直線OD的斜率,求證:k•kOD為定值;
(3)在(2)條件下,當(dāng)t=1時,若
OA
OB
的夾角為銳角,試求k的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)離心率求得n和m的關(guān)系式,同時把點P代入橢圓方程求得n和m的另一關(guān)系式,聯(lián)立求得n和m,則橢圓的方程可得.
(2)把直線與橢圓方程聯(lián)立消去y,利用韋達定理表示出x1+x2和x1x2,進而表示出AB中點的坐標(biāo),最后分別表示出兩條直線的斜率,求得k•kOD為定值
(3)把t=1代入(2)中的方程,根據(jù)x1+x2和x1x2的表達式,求得x1x2+y1y2的表達式,若
OA
OB
的夾角為銳角,則有
OA
OB
=x1x2+y1y2>0
進而求得k的范圍.
解答:解:(1)根據(jù)題意有:
n2-m2
n2
=
3
4
3
4m2
+
1
n2
=1

解得:
m2=1
n2=4

∴橢圓C的方程為x2+
y2
4
=1
(2)聯(lián)立方程組
y=kx+t
x2+
y2
4
=1

消去y得:(4+k2)x2+2kx+t2-4=0①
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點坐標(biāo)為(x0,y0
則有:x0=
x1+x2
2
=
-kt
4+k2
y0=kx0+t=
4t
4+k2

kOD=
y0
x0
=-
4
k
,故k•kOD=-
4
k
•k=-4
為定值
(3)當(dāng)t=1時,①式為(4+k2)x2+2kx-3=0
x1+x2=
-2k
4+k2
,x1x2=-
3
k2+4

∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1
x1x2+y1y2=
1-4k2
k2+4

OA
OB
的夾角為銳角,則有
OA
OB
=x1x2+y1y2>0
,
1-4k2
k2+4
>0
,解得-
1
2
<k<
1
2
,且k≠0,
∴當(dāng)k∈(-
1
2
,0)∪(0,
1
2
)
時,
OA
OB
的夾角為銳角
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2m2
+y2
=1 (常數(shù)m>1),P是曲線C上的動點,M是曲線C上的右頂點,定點A的坐標(biāo)為(2,0)
(1)若M與A重合,求曲線C的焦點坐標(biāo);
(2)若m=3,求|PA|的最大值與最小值;
(3)若|PA|的最小值為|MA|,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C 1
x2
a2
+
y2
b2
=λ1
(a>b>0,λ1>0)和雙曲線C 2
x2
m2
-
y2
n2
=λ2(λ2≠0)
,給出下列命題:
①對于任意的正實數(shù)λ1,曲線C1都有相同的焦點;
②對于任意的正實數(shù)λ1,曲線C1都有相同的離心率;
③對于任意的非零實數(shù)λ2,曲線C2都有相同的漸近線;
④對于任意的非零實數(shù)λ2,曲線C2都有相同的離心率.
其中正確的為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
m2
+y2=1
的左、右焦點分別為F1、F2,離心率為
2
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=x+t(t>0)與橢圓C交于A,B兩點.若原點O在以線段AB為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
m2
+y2=1
(常數(shù)m>1),P是曲線C上的動點,M是曲線C上的右頂點,定點A的坐標(biāo)為(2,0)
(1)若M與A重合,求曲線C的焦點坐標(biāo);
(2)若m=3,求|PA|的最大值與最小值;
(3)若|PA|的最小值為|MA|,求實數(shù)m 的取值范圍.

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