Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，四邊形A₁ACC₁是邊長(zhǎng)為2的正方形，AB=BC=

2

．
（1）求證：BC⊥AB₁；
（2）求三棱錐 B₁-ABC₁的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明BC⊥AA₁，BC⊥AB，推出BC⊥平面 ABB₁A₁，然后利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明 BC⊥AB₁．
（2）直接利用三棱錐的體積與三棱柱的體積關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解三棱錐的體積即可．

解答： （1）證明：∵AA₁⊥平面ABC，∴BC⊥AA₁，
又∵AB=BC=

2

，AC=2，
∴AC²=A B²+BC²，
∴BC⊥AB，
而 AA₁∩AB=A，且AA₁、AB?平面ABB₁A₁
∴BC⊥平面ABB₁A₁，
而AB₁?平面ABB₁A₁
故BC⊥AB₁．

（2）解：∵VB1-ABC1=VC1-ABB1=

1

3

×

1

2

S矩形ABB1A1×B1C1=

1

3

×

1

2

×2×

2

×

2

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查計(jì)算能力以及邏輯推理能力．