Question

已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)a₁=1，公比q＞0，其前n項(xiàng)和為S_n，且S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足a_n+1=（

1

2

） anbn，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，若T_n≥m恒成立，求m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）法一：由S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差數(shù)列，推出4a₃=a₁，求出公比，然后求解通項(xiàng)公式．
（Ⅰ）法二：由S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的和，求出公比，然后求解通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）求出bn=n•2n-1，利用錯(cuò)位相減法求出Tn=1+(n-1)2n，轉(zhuǎn)化T_n≥m恒成立，為（T_n）_min≥m，通過(guò){T_n}為遞增數(shù)列，求解m的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）法一：由題意可知：2（S₃+a₃）=（S₁+a₁）+（S₂+a₂）
∴S₃-S₁+S₃-S₂=a₁+a₂-2a₃，
即4a₃=a₁，于是

a3

a1

=q2=

1

4

，∵q＞0，∴q=

1

2

； 
∵a₁=1，∴an=(

1

2

)n-1．
（Ⅰ）法二：由題意可知：2（S₃+a₃）=（S₁+a₁）+（S₂+a₂）
當(dāng)q=1時(shí)，不符合題意；
當(dāng)q≠1時(shí)，2(

1-q3

1-q

+q2)=1+1+

1-q2

1-q

+q，
∴2（1+q+q²+q²）=2+1+q+q，∴4q²=1，∴q2=

1

4

，
∵q＞0，∴q=

1

2

，
∵a₁=1，∴an=(

1

2

)n-1．

（Ⅱ）∵an+1=(

1

2

)anbn，∴(

1

2

)n=(

1

2

)anbn，∴bn=n•2n-1，
∴Tn=1×1+2×2+3×22+…+n•2n-1（1）
∴2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n•2n（2）
∴（1）-（2）得：-T n=1+2+22+…+2n-1-n•2n
=

1-2n

1-2

-n•2n=(1-n)2n-1∴Tn=1+(n-1)2n
∵T_n≥m恒成立，只需（T_n）_min≥m
∵Tn+1-Tn=n•2n+1-(n-1)•2n=(n+1)•2n＞0
∴{T_n}為遞增數(shù)列，∴當(dāng)n=1時(shí)，（T_n）_min=1，
∴m≤1，∴m的最大值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法以及數(shù)列求和的方法的應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力．