Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx+

1

x

，
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若?x∈[1，+∞）及t∈[1，2]不等式f（x）≥t²-2mt+2恒成立，求實(shí)數(shù)m取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為t²-2mt+1≤0對?t∈[1，2]恒成立，得不等式組，解出即可．

解答： 解：（1）f′(x)=

2

x

-

1

x2

=

2x-1

x2

=0⇒x=

1

2

，
列表如下：

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值2-2ln2	↗

所以，f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

1

2

)，單調(diào)遞增區(qū)間為(

1

2

，+∞)，極小值是2-2ln2，無極大值．
（2）由（1）可知f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增
所以t²-2mt+2≤f（x）_min=f（1）=1即t²-2mt+1≤0對?t∈[1，2]恒成立
所以

1-2m+1≤0 4-4m+1≤0

，解得m≥

5

4

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式恒成立問題，是一道綜合題．