Question

已知f（x）=

ex-a

x

，g（x）=alnx+a．
（1）當a=0時，求f（x）在（1，f（x））處的切線方程．
（2）若x＞1時，恒有f（x）≥g（x）成立，求a的范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）把a=0代入函數(shù)解析式，求得導函數(shù)，得到f′（1），再求出f（1）的值，然后利用直線方程的點斜式得答案；
（2）構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），求其導函數(shù)，分a＜e和a≥e討論，當a＜e時，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，直接由h（1）≥0求得a的范圍；當a≥e時，求出h（x）在（1，+∞）上的最小值，由最小值大于等于0求得a的范圍，最后取并集得答案．

解答： 解：（1）當a=0時，f(x)=

ex

x

，f′(x)=

xex-ex

x2

，
∴f′（1）=0，
又f（1）=e，
∴f（x）在（1，f（x））處的切線方程為y-e=0×（x-1），
即y=e；
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=

ex-a

x

-alnx-a（x＞1），
h′(x)=

xex-ex+a-ax

x2

=

(x-1)(ex-a)

x2

．
當a＜e時，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，
由h（1）=e-a-a≥0，得a≤

e

2

，
∴a≤

e

2

；
當a≥e時，由h′（x）=0，得x=lna，
當x∈（1，lna）時，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，
當x∈（lna，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，
∴當x=lna時，h（x）有極小值，也是（1，+∞）上的最小值，
h（x）_min=

elna-a

lna

-aln(lna)-a=-aln（lna）-a．
由-aln（lna）-a≥0，得a≤e

1

e

，與a≥e矛盾．
綜上，對x＞1，恒有f（x）≥g（x）成立的a的范圍是（-∞，

e

2

]．

點評：本題考查了利用導數(shù)求過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，訓練了函數(shù)構(gòu)造法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是壓軸題．