Question

【題目】設函數(shù)f（x）=x2﹣ax+b．
（1）若不等式f（x）＜0的解集是{x|2＜x＜3}，求不等式bx2﹣ax+1＞0的解集；
（2）當b=3﹣a時，對任意的x∈（﹣1，0]都有f（x）≥0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵不等式x2﹣ax+b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，

∴x=2，x=3是方程x2﹣ax+b=0的解，

由韋達定理得：a=5，b=6，

故不等式bx2﹣ax+1＞0為6x2﹣5x+1＞0，

解不等式6x2﹣5x+1＞0，

得其解集為{x|x＜ 或x＞ }

（2）解：據(jù)題意x∈（﹣1，0]，f（x）=x2﹣ax+3﹣a≥0恒成立，

則可轉(zhuǎn)化為a≤ ，

設t=x+1，則t∈（0，1]，

= =t+ ﹣2關于t遞減，

所以 =1+4﹣2=3，

∴a≤3

【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，解不等式求出其解集即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為a≤ ，設t=x+1，則t∈（0，1]，從而求出a的范圍即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的值域的相關知識，掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．