Question

定義在R上的函數(shù)f（x），在[2，+∞）單調(diào)遞增，對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f（2+x）=f（2-x）成立，若f（x）＜f（x+2），則x的取值范圍是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意知，函數(shù)y=f（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱，通過(guò)對(duì)x范圍的討論分析，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求得x的取值范圍．

解答： 解：∵f（2+x）=f（2-x），
∴函數(shù)y=f（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
又f（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，
∴f（x）在（-∞，2]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）＜f（x+2）恒成立；
當(dāng)x+2≤2，即x≤0時(shí)，總有f（x）≥f（x+2），故f（x）＜f（x+2）恒不成立；
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，要使f（x）＜f（x+2）恒成立，必須點(diǎn)M（x+2，f（x+2））到直線x=2的距離大于點(diǎn)N（x，f（x））到直線x=2的距離，即（x+2）-2＞2-x，
解得：1＜x＜2；
綜上所述，x的取值范圍是：（1，+∞）．
故答案為：（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性，考查分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．