【題目】如圖所示,將一塊直角三角形木板置于平面直角坐標系中,已知,點是三角形木板內一點,現(xiàn)因三角形木板中陰影部分受到損壞,要把損壞部分鋸掉,可用經(jīng)過點的任一直線將三角形木板鋸成.設直線的斜率為.

(Ⅰ)求點的坐標及直線的斜率的范圍;

(Ⅱ)令的面積為,試求出的取值范圍;

(Ⅲ)令(Ⅱ)中的取值范圍為集合,若恒成立,求的取值范圍.

【答案】(Ⅰ) ; ; .(Ⅱ) ;(Ⅲ) .

【解析】試題分析:(Ⅰ)由已知可得:直線 方程為: 直線 方程為: ,分別與直線 的方程聯(lián)立即可得出點的坐標;由在坐標系中的位置可求斜率

的取值范圍
(Ⅱ)利用三角形的面積計算公式可得 ,通過換元利用導數(shù)即可得出其單調性最值,進而得出的取值范圍區(qū)間D;
(Ⅲ)已知 對任意 恒成立.可轉化為 再利用二次函數(shù)的單調性即可得出.

試題解析:((Ⅰ)∵,

∴直線方程為:

直線方程為: ,

.

,∴,

又由,

,∴.

(Ⅱ) .

, .

是單調遞增.∴當時, ,即當時即時, , ,∴.

(Ⅲ)已知對任意恒成立.

又∵,∴,

.∴.

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