【題目】已知函數(shù).

1)試判斷函數(shù)的單調性;

2)若函數(shù)上有且僅有一個零點,

①求證:此零點是的極值點;

②求證:.

(本題可能會用到的數(shù)據(jù):

【答案】1)見解析;(2)①證明見解析;②證明見解析.

【解析】

1)求出,由,得 ,對參數(shù)分類討論,當時,恒成立,求出單調區(qū)間;當,令,求出方程的根,即可求得結論;

2)①求出,可判斷單調遞增,根據(jù)零點存在性定理可得,,使得,結合的單調性,可得,時,,單調遞減,單調遞增,上有且僅有一個零點,此零點為極小值點

②由①得,,且,整理得,且,為函數(shù)

的零點,通過求導判斷的單調性,結合零點存在性定理,可求,根據(jù)單調遞增,即可求出結論.

1)∵,

,∴,∴時,恒成立,

所以單調遞增,沒有單調遞減區(qū)間.

時,設,則對稱軸,,

解不等式可得:,或,

所以此時的單調遞增區(qū)間為.

單調遞減區(qū)間是,

綜上:時,單調遞增區(qū)間是,沒有單調遞減區(qū)間:

時,單調遞增區(qū)間為,

單調遞減區(qū)間是

2)①∵,

單調遞增,又因為,

,使得,且時,

時,,

單調遞減,單調遞增,

上有且僅有一個零點,

∴此零點為極小值點

②由①得,即,

解得:,且,

,,

,

單調遞減,

因為,∴,

又因為單調遞增,,

.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】如圖所示,、是兩個垃圾中轉站,的正東方向千米處,的南面為居民生活區(qū).為了妥善處理生活垃圾,政府決定在的北面建一個垃圾發(fā)電廠.垃圾發(fā)電廠的選址擬滿足以下兩個要求(、、可看成三個點):①垃圾發(fā)電廠到兩個垃圾中轉站的距離與它們每天集中的生活垃圾量成反比,比例系數(shù)相同;②垃圾發(fā)電廠應盡量遠離居民區(qū)(這里參考的指標是點到直線的距離要盡可能大).現(xiàn)估測得、兩個中轉站每天集中的生活垃圾量分別約為噸和噸.設

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2)垃圾發(fā)電廠該如何選址才能同時滿足上述要求?

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【題目】給出下列六個命題:

1)若,則函數(shù)的圖像關于直線對稱.

2的圖像關于直線對稱.

3的反函數(shù)與是相同的函數(shù).

4無最大值也無最小值.

5的最小正周期為.

6有對稱軸兩條,對稱中心有三個.

則正確命題的個數(shù)是(

A.1B.2C.3D.4

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【題目】在平面直角坐標系中,直線l的參數(shù)方程為t為參數(shù)).以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系.曲線C的極坐標方程為.

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【題目】一件剛出土的珍貴文物要在博物館大廳中央展出,需要設計各面是玻璃平面的無底正四棱柱將其罩住,罩內充滿保護文物的無色氣體.已知文物近似于塔形,高1.8米,體積0.5立方米,其底部是直徑為0.9米的圓形,要求文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3米,文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2米,氣體每立方米1000元,則氣體費用最少為( )元

A.4500B.4000C.2880D.2380

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【題目】如圖三棱柱,,分別是的中點,四邊形是菱形,且平面平面.

(Ⅰ)求證:四邊形為矩形;

(Ⅱ)若,體積為,求三棱柱的側面積.

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【題目】設函數(shù),.

1)當時,求函數(shù)在點處的切線方程;

2是函數(shù)的極值點,求函數(shù)的單調區(qū)間;

3)在(2)的條件下,,若,,使不等式恒成立,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓C:a>b>0)的頂點到直線l1:y=x的距離分別為.

1)求橢圓C的標準方程

2)設平行于l1的直線lCA,B兩點,,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),,記

1)證明:有且僅有一個零點;

2)記的零點為,,若內有兩個不等實根,判斷的大小,并給出對應的證明.

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