【題目】已知函數(shù).
(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在
上有且僅有一個零點,
①求證:此零點是的極值點;
②求證:.
(本題可能會用到的數(shù)據(jù):)
【答案】(1)見解析;(2)①證明見解析;②證明見解析.
【解析】
(1)求出,由
,得
,對參數(shù)
分類討論,當(dāng)
時,
恒成立,求出單調(diào)區(qū)間;當(dāng)
,令
,求出方程的根,即可求得結(jié)論;
(2)①求出,可判斷
在
單調(diào)遞增,根據(jù)零點存在性定理可得,
,使得
,結(jié)合
的單調(diào)性,可得
,
時,
,
在
單調(diào)遞減,
單調(diào)遞增,
在
上有且僅有一個零點,此零點為極小值點
;
②由①得,
,且
,整理得
,且
,
為函數(shù)
的零點,通過求導(dǎo)判斷
的單調(diào)性,結(jié)合零點存在性定理,可求
,根據(jù)
在
單調(diào)遞增,即可求出結(jié)論.
(1)∵,
∵,∴
,∴
時,
恒成立,
所以在
單調(diào)遞增,沒有單調(diào)遞減區(qū)間.
時,設(shè)
,則對稱軸
,
,
解不等式可得:
,或
,
所以此時的單調(diào)遞增區(qū)間為
和
.
單調(diào)遞減區(qū)間是,
綜上:時,單調(diào)遞增區(qū)間是
,沒有單調(diào)遞減區(qū)間:
時,單調(diào)遞增區(qū)間為
和
,
單調(diào)遞減區(qū)間是;
(2)①∵,
∴在
單調(diào)遞增,又因為
,
∴,使得
,且
時,
時,
,
∴在
單調(diào)遞減,
單調(diào)遞增,
∵在
上有且僅有一個零點,
∴此零點為極小值點;
②由①得,即
,
解得:,且
,
設(shè),
,
∵,
則在
單調(diào)遞減,
因為,
,∴
,
又因為在
單調(diào)遞增,
,
,
∴.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,、
是兩個垃圾中轉(zhuǎn)站,
在
的正東方向
千米處,
的南面為居民生活區(qū).為了妥善處理生活垃圾,政府決定在
的北面建一個垃圾發(fā)電廠
.垃圾發(fā)電廠
的選址擬滿足以下兩個要求(
、
、
可看成三個點):①垃圾發(fā)電廠到兩個垃圾中轉(zhuǎn)站的距離與它們每天集中的生活垃圾量成反比,比例系數(shù)相同;②垃圾發(fā)電廠應(yīng)盡量遠離居民區(qū)(這里參考的指標(biāo)是點
到直線
的距離要盡可能大).現(xiàn)估測得
、
兩個中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾量分別約為
噸和
噸.設(shè)
.
(1)求(用
的表達式表示);
(2)垃圾發(fā)電廠該如何選址才能同時滿足上述要求?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列六個命題:
(1)若,則函數(shù)
的圖像關(guān)于直線
對稱.
(2)與
的圖像關(guān)于直線
對稱.
(3)的反函數(shù)與
是相同的函數(shù).
(4)無最大值也無最小值.
(5)的最小正周期為
.
(6)有對稱軸兩條,對稱中心有三個.
則正確命題的個數(shù)是( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為
(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點,直線l與曲線C相交于A,B兩點,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一件剛出土的珍貴文物要在博物館大廳中央展出,需要設(shè)計各面是玻璃平面的無底正四棱柱將其罩住,罩內(nèi)充滿保護文物的無色氣體.已知文物近似于塔形,高1.8米,體積0.5立方米,其底部是直徑為0.9米的圓形,要求文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3米,文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2米,氣體每立方米1000元,則氣體費用最少為( )元
A.4500B.4000C.2880D.2380
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖三棱柱,
,
分別是
的中點,四邊形
是菱形,且平面
平面
.
(Ⅰ)求證:四邊形為矩形;
(Ⅱ)若,且
體積為
,求三棱柱
的側(cè)面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),
.
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
在點
處的切線方程;
(2)是函數(shù)
的極值點,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(3)在(2)的條件下,,若
,
,使不等式
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的頂點到直線l1:y=x的距離分別為
和
.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)設(shè)平行于l1的直線l交C于A,B兩點,且,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
,記
(1)證明:有且僅有一個零點;
(2)記的零點為
,
,若
在
內(nèi)有兩個不等實根
,判斷
與
的大小,并給出對應(yīng)的證明.
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