Question

【題目】已知函數(shù).

（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在上有且僅有一個零點(diǎn)，

①求證：此零點(diǎn)是的極值點(diǎn)；

②求證：.

（本題可能會用到的數(shù)據(jù)：）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①證明見解析；②證明見解析.

【解析】

（1）求出，由，得 ，對參數(shù)分類討論，當(dāng)時，恒成立，求出單調(diào)區(qū)間；當(dāng)，令，求出方程的根，即可求得結(jié)論；

（2）①求出，可判斷在單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得，，使得，結(jié)合的單調(diào)性，可得,時，，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在上有且僅有一個零點(diǎn)，此零點(diǎn)為極小值點(diǎn)；

②由①得，，且，整理得，且，為函數(shù)

的零點(diǎn)，通過求導(dǎo)判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，可求，根據(jù)在單調(diào)遞增，即可求出結(jié)論.

（1）∵，

∵，∴，∴時，恒成立，

所以在單調(diào)遞增，沒有單調(diào)遞減區(qū)間.

時，設(shè)，則對稱軸，，

解不等式可得：，或，

所以此時的單調(diào)遞增區(qū)間為和.

單調(diào)遞減區(qū)間是，

綜上：時，單調(diào)遞增區(qū)間是，沒有單調(diào)遞減區(qū)間：

時，單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間是；

（2）①∵，

∴在單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>，

∴，使得，且時，

時，，

∴在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

∵在上有且僅有一個零點(diǎn)，

∴此零點(diǎn)為極小值點(diǎn)；

②由①得，即，

解得：，且，

設(shè)，，

∵，

則在單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>，，∴，

又因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，，，

∴.