Question

已知圓C的圓心C在直線y=x上，且與x軸正半軸相切，點C與坐標(biāo)原點O的距離為

2

．
（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線l過點M（1，

1

2

）且與圓C相交于A，B兩點，求弦長|AB|的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）由已知設(shè)出圓心坐標(biāo)及半徑，根據(jù)兩點距離公式以及直線與圓相切的性質(zhì)即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）分情況討論，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，此時弦長|AB|=2．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程：y-

1

2

=k(x-1)，利用弦長公式可得|AB|=2

1- 1 4(1+k2)

，從而可得k=0時，弦長|AB|取最小值|AB|=

3

．

解答： 解：（Ⅰ）由題可設(shè)圓心C（a，a），半徑r，
∵|CO|=

2

=

a2+a2

．
∴a=±1．
又∵圓C與x軸正半軸相切，
∴a=1，r=1．
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-1）²+（y-1）²=1．
（Ⅱ）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，
直線l的方程為x=1，此時弦長|AB|=2．
②當(dāng)直線l的斜率存在時，
設(shè)直線l的方程：y-

1

2

=k(x-1)
點C到直線l的距離d=

1

2 1+k2

，
弦長|AB|=2

1- 1 4(1+k2)

，
當(dāng)k=0時，弦長|AB|取最小值|AB|=

3

，
此時直線l的方程為y=

1

2

．
由①②知當(dāng)直線l的方程為y=

1

2

時，弦長|AB|取最小值為|AB|=

3

．

點評：本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等知識的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．