Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+λ•2^-x（λ∈R），若不等式

1

2

≤f(x)≤4在x∈[0，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令t=2^x，x∈[0，1]，則t∈[1，2]，則y=f（x）=2^x+λ•2^-x=t+

λ

t

，分λ≤0和λ＞0兩種情況分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)不等式

1

2

≤f(x)≤4在x∈[0，1]上恒成立，構(gòu)造相關(guān)的不等式，討論滿足條件的實(shí)數(shù)λ的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果可得答案．

解答： 解：令t=2^x，x∈[0，1]，則t∈[1，2]，
y=f（x）=2^x+λ•2^-x=t+

λ

t

，
若λ≤0，則y=t+

λ

t

在[1，2]上為增函數(shù)，
由不等式

1

2

≤f(x)≤4在x∈[0，1]上恒成立，
可得

1+λ≥ 1 2 2+ λ 2 ≤4

，解得：-

1

2

≤λ≤4，
∴-

1

2

≤λ≤0；
若λ＞0，則y=t+

λ

t

在（0，

λ

）上為減函數(shù)，在（

λ

，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)

λ

≥2，即λ≥4時(shí)，由不等式

1

2

≤f(x)≤4在x∈[0，1]上恒成立，
可得

1+λ≤4 2+ λ 2 ≥ 1 2

，解得：-3≤λ≤3，
此時(shí)不存在滿足條件的λ值；
當(dāng)1＜

λ

＜2，即1＜λ＜4時(shí)，由不等式

1

2

≤f(x)≤4在x∈[0，1]上恒成立，
可得

1+λ≤4 2+ λ 2 ≤4 2 λ ≥ 1 2

，解得：

1

4

≤λ≤3，
∴1＜λ≤3，
當(dāng)

λ

≤1，即0＜λ≤1時(shí)，由不等式

1

2

≤f(x)≤4在x∈[0，1]上恒成立，
由不等式

1

2

≤f(x)≤4在x∈[0，1]上恒成立，
可得

1+λ≥ 1 2 2+ λ 2 ≤4

，解得：-

1

2

≤λ≤4，
∴0＜λ≤1
綜上所述，若不等式

1

2

≤f(x)≤4在x∈[0，1]上恒成立，
實(shí)數(shù)λ的取值范圍為：[-

1

2

，3]

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和對勾函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵．