Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．滿足b（sinB-

2

sinC）=（a+c）（sinA-sinC），

AB

•

BC

≥0．
（1）求A的值；
（2）若a=

2

．求b-

2

c的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦定理,余弦定理

專題：三角函數的求值

分析：（1）利用正弦定理和余弦定理即可得出；
（2）利用向量的夾角公式、正弦定理、兩角和差的正弦余弦公式及其余弦函數的單調性即可得出．

解答： 解：（1）由b（sinB-

2

sinC）=（a+c）（sinA-sinC）可得b(b-

2

c)=(a+c)(a-c)，
化為b2+c2-a2=

2

bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

2

2

，
又A∈（0，π），∴A=

π

4

．
（2）∵

AB

•

BC

≥0，∴B為鈍角或直角．）
于是0＜A+C≤

π

2

，又A=

π

4

，∴0＜C≤

π

4

，
由正弦定理可知，2R=

a

sinA

=

2

2 2

=2，
∴b-

2

c=2sinB-2

2

sinC=2sin(

3π

4

-C)-2

2

sinC=2cos(C+

π

4

)，
又0＜C≤

π

4

，∴

π

4

＜C+

π

4

≤

π

2

，
∴0≤cos(C+

π

4

)＜

2

2

，∴2cos(C+

π

4

)∈[0，

2

)．

點評：本題綜合考查了正弦定理和余弦定理、向量的夾角公式、兩角和差的正弦余弦公式及其余弦函數的單調性等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．