Question

已知函數(shù)f（x）=|x-m|，關(guān)于x的不等式f（x）≤3的解集為[-1，5]．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）已知a，b，c∈R，且a-2b+2c=m，求a²+b²+c²的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：柯西不等式,絕對(duì)值不等式的解法

專題：綜合題,推理和證明,不等式

分析：（1）不等式f（x）≤3等價(jià)于m-3≤x≤m+3，利用不等式f（x）≤3的解集為[-1，5]，建立方程組，即可求實(shí)數(shù)m的值；
（2）由（1）得：a-2b+2c=2，再利用柯西不等式求得a²+b²+c²的最小值．

解答： 解：（1）|x-m|≤3?-3≤x-m≤3?m-3≤x≤m+3，由題意得

m-3=-1 m+3=5

，解得m=2；
（2）由（1）可得a-2b+2c=2，
由柯西不等式可得（a²+b²+c²）[1²+（-2）²+2²]≥（a-2b+2c）²=4，
∴a²+b²+c²≥

4

9

當(dāng)且僅當(dāng)

a

1

=

b

-2

=

c

2

，即a=

2

9

，b=-

4

9

，c=

4

9

時(shí)等號(hào)成立，
∴a²+b²+c²的最小值為

4

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值三角不等式、柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．