Question

已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)f（x）=

1

2

x²+

3

2

x的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）若c_n=

an

an+1

+

an+1

an

，求證：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：本題（1）利用點(diǎn)在線上，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，再利用數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求出數(shù)列通項(xiàng)a_n，得到本題結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論，先求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，再利用放縮法和裂項(xiàng)法求和，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)f（x）=

1

2

x²+

3

2

x的圖象上，
∴Sn=

1

2

n2+

3

2

n．
∴當(dāng)n=1時(shí)，
a1=S1=

1

2

×12+

3

2

×1=2；
當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，
a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

3

2

n-

1

2

(n-1)2-

3

2

(n-1)=n+1．
∴a_n=n+1，n∈N^*．
（2）由（1）知：a_n=n+1，n∈N^*，
∴c_n=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=

(n+1)2+(n+2)2

(n+1)(n+2)

=2+

1

n2+3n+2

，
∴c_n＞2，
∴c₁+c₂+…+c_n＞2n．
∴cn=2+

1

(n+1)(n+2)

=2+

1

n+1

-

1

n+2

，
∴c₁+c₂+…+c_n
=2n+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)
=2n+

1

2

-

1

n+2

＜2n+

1

2

．
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、放縮法、裂項(xiàng)法求和，本題難度適中，有一定的計(jì)算量，屬于中檔題．