Question

已知A，B是拋物線W：y=x²上的兩個點，點A的坐標為（1，1），直線AB的斜率為k，O為坐標原點．
（Ⅰ）若拋物線W的焦點在直線AB的下方，求k的取值范圍；
（Ⅱ）設C為W上一點，且AB⊥AC，過B，C兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為D，求|OD|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）求出拋物線y=x²的焦點，得直線AB的方程為y-1=k（x-1），求出直線AB與y軸相交于點（0，1-k），利用拋物線W的焦點在直線AB的下方，即可求k的取值范圍；
（Ⅱ）求出B、C處的切線方程，聯(lián)立求出D的坐標，結合A（1，1）且AB⊥AC，求出|OD|，即可求出|OD|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）拋物線y=x²的焦點為（0，

1

4

）．…（1分）
由題意，得直線AB的方程為y-1=k（x-1），…（2分）
令x=0，得y=1-k，即直線AB與y軸相交于點（0，1-k）．…（3分）
∵拋物線W的焦點在直線AB的下方，
∴1-k＞

1

4

，
解得k＜

3

4

．…（5分）
（Ⅱ）設B（x₁，x₁²），C（x₂，x₂²），則
∵A（1，1）且AB⊥AC，
∴

x22-1

x2-1

•

x12-1

x1-1

=-1
即（x₁+x₂）+x₁•x₂=-2------（6分）
又∵y′=2x，∴B、C處的切線的斜率為k₁=2x₁，k₂=2x₂，
∴B、C處的切線方程為y-x₁²=2x₁（x-x₁）和y-x₂²=2x₂（x-x₂），
聯(lián)立解得D（

x1+x2

2

，x₁•x₂）------（8分）
設x₁x₂=t，由（x₁+x₂）+x₁•x₂=-2得

x1+x2

2

=-1-

t

2

，
∴|OD|²=（-1-

t

2

）²+t²=

5

4

t²+t+1-----（10分）
當t=-

2

5

時，|OD|²_min=

4

5

，
∴|OD|_min=

2 5

5

-----（12分）

點評：本題考查拋物線的定義與方程，考查拋物線的切線方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．