Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)過點(

3

，

2

2

)，它的離心率為

6

2

，P、Q分別在雙曲線的兩條漸近線上，M是線段PQ中點，|PQ|=2

2

．
（Ⅰ）求雙曲線及其漸近線方程；
（Ⅱ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅲ）過C左焦點F₁的直線l與C相交于點A、B，F(xiàn)₂為C的右焦點，求△ABF₂面積最大時

F2A

•

F2B

的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出

3

a2

-

1

2b2

=1，且

a2+b2

a2

=(

6

2

)2，由此能求出雙曲線方程和它的漸近線方程．
（Ⅱ）設P(x1，

x1

2

)，Q(x2，-

x2

2

)，M（x，y），由已知條件推導出(x1-x2)2+(

x1

2

+

x2

2

)2=8，由此能求出軌跡C的方程．
（Ⅲ） F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，設l的方程為x=ky-

3

，設A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）．把x=ky-

3

代入

x2

4

+y2=1，得 (k2+4)y2-2

3

ky-1=0，由此利用韋達定理、三角形面積公式、均值定理等知識點能求出△ABF₂面積最大時

F2A

•

F2B

的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)過點(

3

，

2

2

)，它的離心率為

6

2

，
∴

3

a2

-

1

2b2

=1，且

a2+b2

a2

=(

6

2

)2，
解得 a²=2，b²=1，
∴雙曲線方程是

x2

2

-y2=1，
它的漸近線方程是y=

1

2

x，y=-

1

2

x．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，不妨設P(x1，

x1

2

)，Q(x2，-

x2

2

)，
設M（x，y），則有x1+x2=2x，

x1

2

-

x2

2

=2y．
∵|PQ|=2

2

，∴(x1-x2)2+(

x1

2

+

x2

2

)2=8，
∴(2

2

y)2+(

2x

2

)2=8，
化簡得軌跡C的方程為 

x2

4

+y2=1．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
根據題意直線l與x軸不能重合，
∴設l的方程為x=ky-

3

，設A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）．
把x=ky-

3

代入

x2

4

+y2=1，
化簡并整理得 (k2+4)y2-2

3

ky-1=0，
∴y3+y4=

2 3 k

k2+4

，y₃y₄=-

1

k2+4

，
∴|y3-y4|=

(y3+y4)2-4y3y4

=

( 2 3 k k2+4 )2+ 4 k2+4

=4

1 (k2+1)+ 9 k2+1 +6

，
∴△ABF₂面積S=

1

2

|F1F2|•|y3-y4|=4

3

•

1 (k2+1)+ 9 k2+1 +6

≤4

3

•

1 2 (k2+1)• 9 k2+1 +6

=2，
當且僅當k2+1=

9

k2+1

時，即等號成立．
∴當k=

2

時，y3+y4=

6

3

，y3y4=-

1

6

，
∴x3+x4=k(y3+y4)-2

3

=-

4 3

3

，x3x4=(ky3-

3

)(ky4-

3

)=k2y3y4-

3

k(y3+y4)+3=

2

3

，
∴

F2A

•

F2B

=(x3-

3

，y3)•(x4-

3

，y4)=x3x 4-

3

(x3+x4)+3+y3y4=

15

2

．
同理，當k=-

2

時，

F2A

•

F2B

=

15

2

．
綜上所述，

F2A

•

F2B

=

15

2

．…（14分）

點評：本題考查雙曲線方程及其漸近線方程的求法，考查點的軌跡方程的求法，考查三角形面積最大時數量積的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理、均值定理的合理運用．