已知雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
2
，且經(jīng)過點（4，-
10
）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2為雙曲線C的左、右焦點，若雙曲線C上一點M滿足F1M⊥F2M，求△MF1F2的面積．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由已知條件設(shè)雙曲線的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1，且推導(dǎo)出a=b，把點(4，-
10
)代入能求出雙曲線C的方程．
（Ⅱ）由題設(shè)知F1(-2
3
 ， 0)，F2(2
3
 ， 0)，設(shè)M（x0，y0），由F1M⊥F2M，推導(dǎo)出
x
2
0
+
y
2
0
=12，由此能求出△MF1F2的面積．
解答： 解：（Ⅰ）∵雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，
∴設(shè)雙曲線的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1，（a＞0，b＞0）
∵離心率為
2
，
∴e=
c
a
=
2
，∴a=b，
又∵雙曲線過點(4，-
10
)，
∴
16
a2
-
10
a2
=1，解得a2=6，
∴所求雙曲線C的方程為
x2
6
-
y2
6
=1．    …（4分）
（Ⅱ）∵c2=a2+b2=12，∴F1(-2
3
 ， 0)，F2(2
3
 ， 0)，
設(shè)M（x0，y0），
則
F1M
=(x0+2
3
 ， y0)，
F2M
=(x0-2
3
 ， y0)，
∵F1M⊥F2M，∴
F1M
•
F2M
=0，即
x
2
0
+
y
2
0
=12，
又∵
x
2
0
-
y
2
0
=6，∴
x
2
0
=9，
y
2
0
=3．
∴S△MF1F2=
1
2
|F1F2|•|y0| =
1
2
×4
3
×
3
=6．…（10分）
點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查三角形面積的求法，解題時要注意待定系數(shù)法的合理運用，要熟練掌握雙曲線的簡單性質(zhì)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列4個命題中，真命題的個數(shù)是（　�。�
①如果a＞0且a≠1，那么logaf（x）=logag（x）的充要條件是af（x）=ag（x）
②如果A、B為△ABC的兩個內(nèi)角，那么A＞B的充要條件是sinA＞sinB
③如果向量
a
與向量
b
均為非零向量，那么(
a
•
b
)2=
a
2•
b
2
④函數(shù)f(x)=
sin2x+2
|sinx|
的最小值為2
2
．
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以點P為圓心的圓與圓x2+y2-2y=0外切且與x軸相切（兩切點不重合）．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若直線mx-y+2m+5=0（m∈R）與點P的軌跡交于A、B兩點，問：當(dāng)m變化時，以線段AB為直徑的圓是否會經(jīng)過定點？若會，求出此定點；若不會，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，拋物線C上的點M（2，m）到焦點F的距離為3．
（Ⅰ）求拋物線C的方程：
（Ⅱ）過點（2，0）的直線l與拋物線C交于A、B兩點，若|AB|=4
6
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B是拋物線W：y=x2上的兩個點，點A的坐標(biāo)為（1，1），直線AB的斜率為k，O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）若拋物線W的焦點在直線AB的下方，求k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)C為W上一點，且AB⊥AC，過B，C兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為D，求|OD|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率e=
5
5
，過F1的直線交橢圓于M、N兩點，且△MNF2周長為4
5
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知過橢圓中心，且斜率為k（k≠0）的直線與橢圓交于A、B兩點，P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個交點，若△APB的面積為
40
9
，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點B、C的坐標(biāo)為B（-2，0），C（2，0），直線AB，AC的斜率乘積為-
1
4
，設(shè)頂點A的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設(shè)曲線E與y軸負(fù)半軸的交點為D，過點D作兩條互相垂直的直線l1，l2，這兩條直線與曲線E的另一個交點分別為M，N．設(shè)l1的斜率為k（k≠0），△DMN的面積為S，試求
S
|k|
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法：
①“若tanA+tanB+tanC＞0，則△ABC是銳角三角形”是真命題；
②“若x=y，則sinx=siny”的逆命題為真命題；
③sin4＞cos4；
④函數(shù)f（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期是π；
⑤在△ABC中，∠A＜∠B是cos2A＞cos2B的充要條件；
其中錯誤的是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題中的假命題是（　�。�
A、?x∈R，2x＞0
B、“|a|＞0”是“a＞0”的必要不充分條件
C、“x＜2”是“|x|＜2”的充分不必要條件
D、“?x0∈R，使得x2-x＞0”的否定是“?x∈R，都有x2-x≤0”

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同步練習(xí)冊答案