Question

如圖，橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，x軸被曲線C₂：y=x²-b截得的線段長等于橢圓C₁的短軸長．C₂與y軸的交點為M，過點M的兩條互相垂直的直線l₁，l₂分別交拋物線于A、B兩點，交橢圓于D、E兩點，
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）記△MAB，△MDE的面積分別為S₁、S₂，若

S1

S2

=

5

8

，求直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，x軸被曲線C₂：y=x²-b截得的線段長等于橢圓C₁的短軸長，建立方程，求出幾何量，即可求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）設直線MA、MB的方程與y=x²-1聯(lián)立，求得A，B的坐標，進而可表示S₁，直線MA、MB的方程與橢圓方程聯(lián)立，求得D，E的坐標，進而可表示S₂，利用

S1

S2

=

5

8

，即可求直線AB的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，
∴a²=2b²，
令x²-b=0可得x=±

b

，
∵x軸被曲線C₂：y=x²-b截得的線段長等于橢圓C₁的短軸長，
∴2

b

=2b，
∴b=1，
∴C₁、C₂的方程分別為

x2

2

+y2=1，y=x²-1；   …（4分）
（Ⅱ）設直線MA的斜率為k₁，直線MA的方程為y=k₁x-1與y=x²-1聯(lián)立得x²-k₁x=0
∴x=0或x=k₁，∴A（k₁，k₁²-1）
同理可得B（k₂，k₂²-1）…（7分）
∴S₁=

1

2

|MA||MB|=

1

2

1+k12

•

1+k22

|k₁||k₂|…（8分）
y=k₁x-1與橢圓方程聯(lián)立，可得D（

4k1

1+2k12

，

2k12-1

1+2k12

），
同理可得E（

4k2

1+2k22

，

2k22-1

1+2k22

）                …（10分）
∴S₂=

1

2

|MD||ME|=

1

2

1+k12

•

1+k22

•

|16k1k2|

(1+2k12)(1+2k22)

 …（12分）
∴

S1

S2

=

(1+2 k 2 1 )(1+2 k 2 2 )

16

=

5+( k 2 1 + 1 k 2 1 )

16

若

S1

S2

=

5

8

則

5+2( k 2 1 + 1 k 2 1 )

16

=

5

8

解得

k

2 1

=2或

k

2 1

=

1

2

∴直線AB的方程為y=

2

2

x或y=-

2

2

x…（15分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與拋物線、橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，聯(lián)立方程，確定點的坐標是關鍵．