Question

對?x∈R，函數(shù)f（x）=x²+bx+c的值恒非負，若b＞3，則

1+b+c

b-3

的最小值為（　�。�

• A、3
• B、4
• C、5
• D、7

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得△=b²-4c≤0，即c≥

b2

4

．再根據(jù)b＞3，則 y=

1+b+c

b-3

≥

1+b+ b2 4

b-3

成立，即

b2

4

+（1-y）b+1-3y≤0 有解，根據(jù)此一元二次不等式的判別式△′=（1-y）²-（1+3y）≥0以及y＞0，求得y的最小值，即為所求．

解答： 解：∵對?x∈R，函數(shù)f（x）=x²+bx+c的值恒非負，
∴f（x）的判別式△=b²-4c≤0，c≥

b2

4

．若b＞3，則 y=

1+b+c

b-3

≥

1+b+ b2 4

b-3

成立，
即關(guān)于b的一元二次不等式

b2

4

+（1-y）b+1-3y≤0 有解，
∴此關(guān)于b的一元二次不等式的判別式△′=（1-y）²-（1+3y）≥0，y（y-5）≥0，
解得 y≤0，或y≥5．
再根據(jù)y＞0可得y≥5，即 y=

1+b+c

b-3

 的最小值為5，
故選：C．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．