Question

【題目】已知首項為﹣6的等差數列{an}的前7項和為0，等比數列{bn}滿足b3=a7 ， |b3﹣b4|=6．
（1）求數列{bn}的通項公式；
（2）是否存在正整數k，使得數列{ }的前k項和大于 ？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等差數列{an}的公差為d，前n項Sn，a1=﹣6，

由S7=0，即7a1+ ×d=0，解得：d=2，

∴an=a1+（n﹣1）d=﹣6+（n﹣1）×2=2n﹣8，

設等比數列{bn}的公比為q，則由b3=a7=6，由|b3﹣b4|=6，即，|6﹣b4|=6．

∴b4=12或b4=0，

又∵{bn}為等比數列，

∴b4=12

∴q=2，

∴bn=b3qn﹣3=6×2n﹣3=3×2n﹣2，

數列{bn}的通項公式bn=3×2n﹣2

（2）解： ，

數列{ }是以 為首項，以 為公比的等比數列，

數列{ }的前k項和Tk= = （1﹣ ），

∴Tk＜ ，又∵ ＜ ，

∴不存在正整數k，使得數列{ }的前k項和大于

【解析】（1）由題意可知：7a1+ ×d=0，求得d=2，即可求得an=2n﹣8，則b3=a7=6，則|6﹣b4|=6．求得b4=12則q= =2，由等比數列的性質可知：bn=b3qn﹣3 ， 即可求得數列{bn}的通項公式；（2） ，數列{ }是以 為首項，以 為公比的等比數列，Tk= = （1﹣ ），則Tk＜ ， ＜ ，不存在正整數k，使得數列{ }的前k項和大于 ．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和和數列的通項公式，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．