Question

已知函數(shù)f(x)=

1+1nx

x

．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若對(duì)所有x≥1都有f(x)≥

k

x+1

，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）易求f′（x）=-

lnx

x2

，易證當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；從而可求f（x）的最大值；
（2）依題意，）對(duì)于任意的x≥1，f（x）≥

k

x+1

?k≤

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），構(gòu)造函數(shù)g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），利用導(dǎo)數(shù)法可判斷出g（x）在[1，+∞）上遞增，從而可求g（x）_min，繼而可得k的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=

1 x •x-(1+lnx)

x2

=-

lnx

x2

，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；
∴f（x）_max=f（1）=1；
（2）對(duì)于任意的x≥1，f（x）≥

k

x+1

，即k≤

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），
設(shè)g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），則k≤g（x）_min；
∵g（x）=1+

1

x

+lnx+

lnx

x

，
∴g′（x）=

x-lnx

x2

，
令h（x）=x-lnx（x≥1），則h′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

≥0（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），
∴h（x）在[1，+∞）上遞增，
∴h（x）≥h（1）=1＞0，
∴g′（x））=

x-lnx

x2

＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上遞增，
∴g（x）≥g（1）=2，即g（x）_min=2，
∴k≤2，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，著重考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查構(gòu)造函數(shù)思想與導(dǎo)數(shù)法的綜合運(yùn)用，屬于難題．